Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Szentpétervári Paradoxon

2015.10.04

Tisztelt Libor Józsefné!

           Tisztelt Szolnoki Főiskola!

 

Pár napja néztem végig Dr. Száz János előadását a Mindentudás Egyetemén, melyben kiemelt szerepet adott a Szentpétervári Paradoxonnak. Az interneten keresve a paradoxon leírását jutottam el az Ön tanulmányához.

 

st.-kep---01.png

 

http://tudomany.szolnok-mtesz.hu/kulonszamok/2010/cikkek/Libor_Jozsefne.pdf

 

Egy szerencse játékról van tehát szó, melyben a játékos nyeresége attól függ, hogy egymásután egy hány alkalommal dob sorozatban írást, úgy hogy közben egyszer sem dob fejet. Amint fejet dob a játékos, az adott játéknak vége van.

 

A nyeremények  összege az alábbiak szerint alakul egy játék esetén:

0 db írás dobás                    2 Ft

1 db írás dobás                    4 Ft

2 db írás dobás                    8 Ft

3 db írás dobás                  16 Ft

4 db írás dobás                  32 Ft

5 db írás dobás                  64 Ft  ….és így tovább, mindig duplázódnak.

 

Mennyit kelljen fizetni egy játékért a játékosnak? Mennyi legyen a részvételi díj? – Ez a megválaszolandó kérdés a paradoxonban!

 

A játék szervezőjét nevezzük banknak, mint általában a kaszinókban szokás és ahogy Ön is nevezi.

 

A játékért fizetetndő összeget úgy kell meghatározni, hogy a játék tisztességes legyen: ne legyen beépítve eleve nyereség a banknak, tehát nincs beépítve, hogy „hosszú távon a bank nyer”.  Ez a játék legyen tehát tisztességes, hosszú távon nem nyer sem a bank, sem a játékos.

 

Elsőként egy nagyon egyszerű számítási módot szeretnék ismertetni. Nem szükséges hozzá matematikai tudás, elegendő az általános iskolai számtan ismerete és az Excel alapszintű használata (nevezzük számtani modellnek). Kérem jelezzen vissza, ha már ismert ez az eljárás, ez a számtani modell a Szentpétervári Paradoxon irodalmában.

 

Másodsorban  a devizahitelezéssel való kapcsolatára szeretném felhívni az Ön figyelmét, kiegészítve ezzel a tanulmányában ismertetett gazdasági vonatkozásokat.

 

Szükségesnek tartom tisztázni a következő alap megállapításokat:

 

  1. a pénzérme nem emlékszik, hogy legutóbbi dobások mik voltak, mikor volt fej és mikor írás
  2. pénzérme nem akar eleget tenni sem a bank, sem a játékos elvárásainak, például nem akarja megvédeni  a bankot a veszteségtől, vagy nem akar jobban teljesíteni, hogy a játékos többet nyerjen
  3. nincs ráhatása sem a banknak, sem a játékosnak  a pénzérmére, annak mozgására, arra hogy amikor leesik  fej vagy írás legyen
  4. amikor a pénz leesik mindig csak két lehetőség van, vagy fej, vagy írás
  5. egyenlő arányban lehet fej vagy írás, a pénzérme nincs megbabrálva, hogy az egyik oldal előnyben részesüljön

 

A továbbiakban a NYER illetve a VESZT szót használom a FEJ és ÍRÁS helyett.

 

Tekintsünk meg egyszerre 2.048 játékot (pl. ennyien játszanak, ez esetben mindenki csak egyszer). Minden játékos természetsen az első dobással indul. A 2.048 dobás  fele NYER (ők tovább játszanak), a másik fele VESZT (számukra a játék véget ér, a banktól kapnak 2-2 forintot). A második dobásban más csak 1.024-en vesznek részt, a dobásokat követően közülük is a fele játszhat tovább (a többiek kapnak a banktól 4-4 forintot)… és így tovább, ahogy az alábbi táblázat tartalmazza:

 

játszik

tovább jut

most véget ért a játék

megnyert dobások száma

egy játékos nyereménye

a bank által fizetett összeg

2 048

1 024

1 024

0

2

2 048

1 024

512

512

1

4

2 048

512

256

256

2

8

2 048

256

128

128

3

16

2 048

128

64

64

4

32

2 048

64

32

32

5

64

2 048

32

16

16

6

128

2 048

16

8

8

7

256

2 048

8

4

4

8

512

2 048

4

2

2

9

1 024

2 048

2

1

1

10

2 048

2 048

1

 

1

11

4 096

4 096

   

 

 

 

 

   

2 048

   

26 624

 

A számítás során feltételeztem, hogy az „utolsó játékos” már nem dob több NYERT-et, így számára 11 nyertes dobással véget ér a játék.

 

A bank összesen 26.624 forintot fizet ki nyereményként, a tisztességesség által előírt feltétel, hogy a bevételének is pont ennyinek kell lennie. Ha több lenne a bank bevétele, akkor a bank „gazdagodna a másik rovására”, ha kevesebb lenne a bank bevétele, akkor a játékosok „gazdagodnának a másik rovására”.

 

A most vizsgált 2.048 játék esetén egy játék díja 26.624 / 2048 = 13,00 Ft.

 

Amennyiben feltételezzük, hogy egy játék 13,00 Ft, akkor akinek sikerül három NYERT-et dobnia, az már vissza kapta a pénzét. Erre az esélye 1:8 vagyis 12,5%. Pontosabban nyert 3 Ft-ot, mivel 16 Ft-ot kap a banktól, míg a játékért csupán 13 Ft-ot fizetett.

 

A maximális nyereségre, mely a pénz 315-szorosát jelenti, 1:2.048 vagyis 0,05% az esély.

 

Georges-Louis Lecrerc de Buffon gróf a XVIII. században ténylegesen lejátszotta a játékot 2.048 dobással. A tényleges játék  eredménye:

 

st.-kep---02.png

 

A számolásom adatai (gyakoriság)

                                                         1024      512      256        128        64          32         16         8           4  

valamint      

10 első fej 2 alkalommal  1.024 nyereménnyel

11 első fej 1 alkalommal  2.048 nyereménnyel

12 első fej 1 alkalommal  4.096 nyereménnyel

 

 

Szeretném jelezni, hogy Buffon az első VESZT dobás sorszámát számolta, míg én a NYERT dobások számát, így kettőnk között van 1 különbség.

 

Az adatokat grafikonon ábrázolva jól látszik, hogy a gyakorlati megvalósítás (tényleges játék) mennyire követei a számtani modellt.

 

Georges-Louis Lecrerc de Buffon gróf azonban nem erről a pénzfeldobós játékról híres, hanem a PI értékével kapcsolatban álló „tűproblémáról”. Ott lényegessebbet alkotott a kötőtűk esésének 5.000 megfigyelésével.

http://www.erdekessegek.hu/index2_3.htm

 

Azt, hogy miért tér el egymástól a számtani modell és a gyakorlati adat a már említett Dr. Száz János előadásból tudhatjuk meg: Talált pénz – Opciók a mindennapokban és a pénzügyi piacokon

 

A Brown-mozgással leírható időbeli folyamatot leginkább úgy lehet elképzelni, amelynek minden pontja meglepetést okoz. Ez egy végtelenül cikkcakkos alakzat, amelynek minden pontja töréspont. Mintha egy cselező csatár előtt egyre sűrűbben lennének a hátvédek.

 

Mennyire érzékenyen reagál egy-egy részvény árfolyama az őt érő információs özönre? A16. ábrán ugyanazok a véletlen hatások érik három részvény szimulált árfolyamát, csak eltérő érzékenységgel reagálnak rájuk. Vagyis eltérő a volatilitásuk. Ha ember lenne, akkor azt mondanánk az erősen volatilis részvényre, hogy hangulatember, és mindenre felkapja a vizet. André Kosztolány egyik könyvében azzal a hasonlattal él, hogy a részvény árfolyama olyan, mint a kutya, akit a gazdája sétáltat: hol előre szalad, hol lemarad, de lényegében arra megy amerre a gazdája.

 

http://mindentudas.hu/el%C5%91ad%C3%A1sok/tudom%C3%A1nyter%C3%BCletek/t%C3%A1rsadalomtudom%C3%A1ny/132-k%C3%B6zgazdas%C3%A1gtudom%C3%A1nyok/6098-talalt-penz-opciok-a-mindennapokban-es-a-penzuegyi-piacokon.html

 

A fenti ábrán a kék vonal a trend, a piros vonal mutatja a 8%-os volatilitást. A saját ábrámon a kék oszlop, a számolás eredménye a trend, és a piros oszlop (a Buffon tényleges játék) mutatja a volatilitást.

 

A számtani modell és Buffon által végzett játék adatai közti különbség tehát egy volatilitás, mely abból ered, hogy sem a modell, sem az elvégzett játék nem kellően nagy számú.

 

Az nem lehet megmondani, hogy mikor, ki pontosan hány NYERT-et fog dobni, azt viszont igen, hogy várhatóan hányan dobnak a 2.048 játékosból legalább 6 alkalommal NYERT-et.

 

A 2.048 számú játéknál azt tételeztük fel hogy 11 NYERT dobással véget ért az utolsó játék is, mivel a következő dobás már VESZT lesz. Azonban ugyanannyi a valószínűsége annak, hogy ez a 12. dobás nem VESZT, hanem NYERT lesz, így viszont már 12 NYERT játékról beszélünk, mely 8.192 Ft nyereség kifizetéést eredményezi. Ha ez következne be, ha a 2.048 játékból 1 játék 12 NYERT dobással fejeződik be, akkor a bank többet fizet, mint amennyi bevétele volt a 13,00 Ft játék díjból.

 

A kikötés, hogy a játéknak tisztességesnek kell lennie, nem teljesül, a játékosok nyernek a bank rovására.

 

A levél teljes terjedelmében az összes ábrával és a számításokkal valamint, hogy miként van kapcsolat a devizahitelezéssel - ide lett feltöltve:

 

https://drive.google.com/file/d/0B-taFPpeqhOzYkhTM1hMZVhyaGM/view?usp=sharing

 

A honlapunkra a terjedelme miatt nem fért fel... Több részre szédszedni, meg nem találtam célszerűnek.